「計算式によるランニングのレベル求め」
内容

以下の文は、８年前に作成したときの文をそのまま載せました。

　

　

はじめに 　よく、ある種目で快記録が出た時、「この記録は、１００ｍでいえば９秒８台の記録に相当する。」など言われたりする。しかし実際の所、何を基準にそのようなことを言っているのか定かではない。また、例えば５０００ｍで１６分台が出たとき、４００ｍでは５３秒ぐらいいくのか、それとも５７秒台ぐらいでしかないのか、そして他の距離ではどうなのか知りたいであろう。 　これを知る最も確かな方法は、記録集によって順位を比較することである。しかし、これだけでは満足できない人もいるのではないだろうか。やはり、種目間のｔｉｍｅの関係に何らかの法則性があれば、それを見つけてみたくなるものであろうし、そういう科学的発想をこの方面に持ち込んでもいいのではないだろうか。またそうしなければ、前人未到の記録が出た時に正しい評価ができないのではないだろうか。 　これから述べることに対して、もちろん反論があるかもしれない。また、一生懸命努力して出した結果に対して、こんな数式で一蹴されてたまるかという思いもあるかもしれない。しかし、あまりにも経験論がはびこっているこの世界に対して、一石を投じる思いも込めて、敢えてこういう試みを行ってみた。

目次 §１　レベル計算法までのいきさつ §２　１００ｍ　〜　マラソンについての検討 §３　具体的な計算式の導出 §４　数式によるｔｉｍｅの計算 §５　応用

§１　レベル計算法までのいきさつ 　レベルを比較するときに私がよく使っていたものに、記録の比の比較がある。例えば、低レベルな自分の例を取り上げて恐縮であるが、私は４００ｍと８００ｍを中心にやっていて、そのうちレベルが高い方はどっちか知りたかったので、次の方法で較べてみた。 世界記録 自分の記録 ４００ｍ ４３．２９ ５５．８ ８００ｍ １：４１．７３ ２：１３．１ ８００ｍの記録を秒に直して、それぞれ １０１．７３ １３３．１ ８００ｍの記録の４００ｍへの換算値 　　　＝４３．２９×（１３３．１／１０１．７３）＝５６．６３９・・・ となり、５５．８より悪くなる。この結果より４００ｍの方が私には合っていることが分かる。 　 　ところがこの方法を女子の１００ｍ４００ｍに適用してみたところ、 ４００ｍの日本記録の１００ｍへの換算値 　　　＝９．９２×（５３．７３／４３．２９）＝１２．３１２・・・ となり、１００ｍの日本記録11.73と大きく食い違うばかりか、１９８９年度の日本ランキング６１位になってしまう。しかし世界記録のバランスがとれてない可能性もあるので、歴代５位について試してみると、 ４００ｍの日本記録の１００ｍへの換算値 　　　＝９．９５×（５３．７３／４３．９８）＝１２．１５５・・・ となり、日本ランキング２４位（１９８９年）となってしまい、これは換算式の方がおかしいと見る方が妥当である。 　ところで私は、自分が４００ｍをやっているせいか、４００ｍのそれぞれのｔｉｍｅが１００ｍのどのあたりに位置するか知るための簡易対応表みたいなものが欲しいと思い、１００ｍの０．１秒に対して４００ｍはその４倍の０．４秒が対応するとして、男子の世界歴代２位ぐらいを基準にとってみた。 　 １００ｍ ４００ｍ １００ｍ ４００ｍ ９．７ ４３．６ １１．７ ５１．６ １０．１ ４５．２ １２．１ ５３．２ １０．５ ４６．８ １２．５ ５４．８ １０．９ ４８．４ １２．９ ５６．４ １１．３ ５０．０ １３．３ ５８．０ （１００ｍ、４００ｍともに手動計時、電気−０．２４） 　 結果は上のようになり、実際とずれる。ここで４００ｍの増加を１００ｍの０．１秒に対して、０．５秒として再び表を作ってみると、 １００ｍ ４００ｍ １００ｍ ４００ｍ ９．７ ４３．６ １１．７ ５３．６ １０．１ ４５．６ １２．１ ５５．６ １０．５ ４７．６ １２．５ ５７．６ １０．９ ４９．６ １２．９ ５９．６ １１．３ ５１．６ １３．３ ６１．６ 　 となり、意外な程実際と合っている。ここから私は、ｔｉｍｅの比較をする時は、比よりも差の方が良いのではないかと思い、この方向で更に詳しく調べてみようと思ったのである。

　

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§２　１００ｍ　〜　マラソンについての検討 　 　前章で得られた結果を、ここでは更に全てのランニング種目（障害は除く）に当てはめてみる。そこで基準ｔｉｍｅを決めなければならないのだが、基準としては男子の世界歴代５位付近をとることにした。 　理由としては、世界記録だとたまに突出した記録が出たりするが、５位ぐらいならそういうことはないだろうということで、そうした。それなら５０位ぐらいをとれば良いではないかと言われるかもしれないが、過去の世界記録の変遷等も考慮に入れやすいので５位にした。 　また、国ごとの記録については、トップ層は国によってある特定種目に力を入れている場合が多いので、基準を世界の方にとった。男子をとったのは、女子よりも歴史が古く、データが安定しているからである。基準は次のようにとった。 　 １００ｍ ９．９６ １５００ｍ ３：３０．８０ ２００ｍ １９．８５ ５０００ｍ １３：０５．００ ４００ｍ ４４．０４ １００００ｍ ２７：１９．００ ８００ｍ １：４２．８５ マラソン ２：０７：４０ 　 ここの数値の５位とのずれは、記録の分布の偏り、過去の記録の変遷等を考えて、自分なりに苦心して調整してみた結果である。不適切な所がないことを祈るのみである。また、混乱を避けるため、記録は全て１９８９年以前のものとした。 　 ＜差(秒)＞　･････　自分なりに最も適当だと思うように選んだ。 １００ｍ ０．４ １５００ｍ ９．０ ２００ｍ ０．８８ ５０００ｍ ３３ ４００ｍ １．９５ １００００ｍ ７３ ８００ｍ ４．５ マラソン ５分５０秒 これを各距離の定数αということにする。 次の表においては、１段目から６段目まではα／４、６段目から１０段目まではα／２、後はαづつ増えるものとする。

　

　

まず、距離が２倍になっているものの間で定数の比を比べてみると、 ２００ｍ／１００ｍ（定数）＝２．２ ４００ｍ／２００ｍ（ 〃 ）＝２．２２ ８００ｍ／４００ｍ（ 〃 ）＝２．３１ １０００００ｍ／５０００ｍ（ 〃 ）＝２．２１ これから大雑把であるが、αは距離が２倍になるごとに２．２倍になることが分かる。ここであらためて１００ｍのときのαを１と定義すると、距離が２倍になるごとにαが２．２倍されるとして、 α（２００）＝１×２．２＝２．２ α（４００）＝２．２×２．２＝４．８ α（８００）＝４．８×２．２＝１０．６ ここで問題なのは、１５００ｍのように今までのように２倍していってもそうならない距離であるが、これについては次章で述べることにする。 　他に表を見て分かるのは、ｔｉｍｅが悪くなる程、距離が長くなるにつれてｔｉｍｅの割にレベルが低くなっていることである。これについても詳しくは次章で述べる。

§３　具体的な計算式の導出 　 　ここでは、前の章で得られたことから、具体的な計算式を導き出してみることにする。まず、距離が２倍になるごとにαが２．２倍になることについてであるが、これは次のように考えれば良い。 200 = 100×2、400 = 100×2^2、800 = 100×2^3　より、距離をXとすると、 X = 100×2^n と表わせ、　n = log2( X/100 ) とできる。 したがって、 α = 2.2^n = 2.2^((log(X) - log(100))/log(2)) = (2.2^(1/log(2)))^(log(X) - log(100)) 　　=13.7^(log(X) - 2) = (13.7^-2)×(13.7^log(X)) = 5.3E-3 × 13.7^log(X) ※logの底は、10とする ところで、前章で適当に決めたαと、ここで求めたαを比較してみると、 　 α（適当） α（2.2^n） １００ｍ １ １ ２００ｍ ２．２ ２．２ ４００ｍ ４．９ ４．８ ８００ｍ １１．３ １０．６ １５００ｍ ２２．５ ２１．６ ５０００ｍ ８３ ８５ １００００ｍ １８３ １８７ マラソン ８７５ ９５９ となり、多少のずれを生じていることが分かる。この表から１０００ｍ付近をずれのピークと見て、| X - 1000 | という因子を考えてみて、試行錯誤の結果、次のような式をかけることにした。 1 - 6.8E-4 × √( | X - 1000 | ) この後、元の式の数値をやや変えて α = 5.36E-3 × 13.8^log(X) × ( 1 - 6.8E-4 × √( | X - 1000 | )　) という式を得た。これを元に再び表を作ってみると、 　 α（適当） α（2.2^n） １００ｍ １ １ ２００ｍ ２．２ ２．２ ４００ｍ ４．９ ４．９ ８００ｍ １１．３ １０．８ １５００ｍ ２２．５ ２２．０ ５０００ｍ ８３ ８４ １００００ｍ １８３ １８２ マラソン ８７５ ８６５ となり、だいぶ近づいた。 　次にもう一方の問題であるが、これは、より距離が長い程、レベルが下がるにつれてｔｉｍｅの増大が大きいということができ、加速度に相当する考えを用いればよい。したがって、ｓをレベルを表わすパラメーターとして α = α0 + β*s のように表わすことができる。また、距離が長い程この効果が大きいことからβはＸの増加関数でなければならない。これは色々試してみた結果、 α = a* ( 1 + b*s ) と表わした時に、ｂがｎに比例することが分かった。そして b = 0.0428*n が得られた。 n = log2( X/100 ) より b = 0.0428 × log2( X/100 ) = 0.0428 × (log(X) - log(100))/log(2) = 0.142 × ( log(X) - 2 ) また、a = α0 であるから a = 5.36E-3 × 13.8^log(X) × ( 1 - 6.8E-4 × √( | X - 1000 | )　)　となる。 ここで、§２の差の考え方だと、Ｔをｓに応じたｔｉｍｅ、Ｔ0を基準ｔｉｍｅとしたとき T = T0  + α*s となるが、新しく導いたαは変数ｓの関数α（ｓ）であるから、αとｓの積は∫α(s) ds と表わされる。したがってＴは、 T = T0 + ∫α(s) ds (s：0→s) と表わされる。これより T = T0 + ∫α(s) ds (s：0→s) = T0 + ∫a*( 1 + b*s ) ds (s：0→s) = T0 + a*s +(a*b/2)*s^2 となる。 もう一度整理して

a = 5.36E-3 × 13.8^log(X) × ( 1 - 6.8E-4 × √( | X - 1000 | )　) b = 0.142 × ( log(X) - 2 ) α(s) = a* ( 1 + b*s ) 　T = T0 + ∫α(s) ds (s：0→s) = T0 + a*s +(a*b/2)*s^2

§４　数式によるｔｉｍｅの計算 ここでは、得られた数式により実際にｔｉｍｅを計算してみる。 １００ｍ ： T = 9.96 + s ２００ｍ ： T = 19.85 + 2.206*s + 0.04715*s^2 ４００ｍ ： T = 44.04 + 4.874*s + 0.2084*s^2 ８００ｍ ： T = 102.85 + 10.82*s + 0.6936*s^2 １５００ｍ ： T = 210.8 + 22.02*s + 1.839*s^2 ５０００ｍ ： T = 785 + 84.42*s + 10.18*s^2 １００００ｍ ： T = 1639 + 181.9*s + 25.82*s^2 マラソン ： T = 7660 + 864.8*s + 161.2*s^2 　 これを元にｔｉｍｅを計算して下の表にまとめてみた。ただし、表を一段下がるごとにｓは６段目までは０．１づつ、１０段目までは０．２づつ、後は０．４づつ増えるものとする。

s	100m	200m	400m	800m	1500m	5000m	10000m	マラソン
-0.1	9.86	19.63	43.56	1:41.78	3:28.62	12:56.66	27:01.07	2:06:15
0.0	9.96	19.85	44.05	1:42.85	3:30.80	13:05.00	27:19.00	2:07:40
0.1	10.06	20.07	44.54	1:43.94	3:33.02	13:13.54	27:37.44	2:09:08
0.2	10.16	20.29	45.03	1:45.04	3:35.28	13:22.29	27:56.40	2:10:39
0.3	10.26	20.52	45.53	1:46.16	3:37.57	13:31.24	28:15.88	2:12:14
0.4	10.36	20.74	46.03	1:47.29	3:39.90	13:40.40	28:35.87	2:13:52
0.6	10.56	21.19	47.05	1:49.59	3:44.68	13:59.32	29:17.41	2:17:17
0.8	10.76	21.65	48.08	1:51.95	3:49.60	14:19.05	30:01.01	2:20:55
1.0	10.7	21.9	48.9	1:54.1	3:54.4	14:39	30:46	2:24:46
1.2	10.9	22.3	50.0	1:56.6	3:59.6	15:01	31:34	2:28:50
1.4	11.1	22.8	51.0	1:59.1	4:05.0	15:23	32:24	2:33:06
1.6	11.3	23.3	52.1	2:01.7	4:10.5	15:46	33:16	2:37:36
2.0	11.7	24.2	54.4	2:07.0	4:22.0	16:34	35:06	2:47:14
2.4	12.1	25.2	56.7	2:12.6	4:34.0	17:26	37:04	2:57:44
2.8	12.5	26.2	59.1	2:18.3	4:46.6	18:21	39:10	3:09:05
3.2	12.9	27.2	61.5	2:24.3	4:59.9	19:19	41:25	3:21:18
3.6	13.3	28.2	64.1	2:30.5	5:13.7	20:21	43:48	3:34:22
4.0	13.7	29.2	66.6	2:37.0	5:28.1	21:25	46:19	3:48:18
4.4	14.1	30.2	69.3	2:43.6	5:43.1	22:33	48:59	4:03:05
4.8	14.5	31.3	72.0	2:50.5	5:58.6	23:45	51:47	4:18:44

この表に不満のある方もいるかもしれないが、この程度でお許し願いたい。しかし、はじめの時よりはかなり良くなったことと思う。参考までに下に主要記録一覧を掲げておく。

世界記録

	100m	200m	400m	800m	1500m	5000m	10000m	マラソン
Men	9.92	19.72	43.29	1:41.73	3:29.46	12:58.39	27:08.23	2:06:50
Women	10.49	21.34	47.60	1:53.28	3:52.47	14:37.33	30:13.74	2:21:06

日本記録

	100m	200m	400m	800m	1500m	5000m	10000m	マラソン
Men	10.28	20.74	44.90	1:47.4	3:38.24	13:22.97	27:35.33	2:07:35
Women	11.73	24.00	53.73	2:04.82	4:15.38	15:38.29	31:54.0	2:29:23

早大同好会記録

	100m	200m	400m	800m	1500m	5000m	10000m	マラソン
Men	10.89	22.0	48.7	1:52.9	3:58.2	14:50.7	30:53.8	2:24:14
Women	12.9	27.1	59.5	2:25.2	4:52.8	18:23.8	38:44.36	3:13:51

§５　応用 　 §４の式からｓに応じてｔｉｍｅを求めるだけでなく、ｔｉｍｅからｓを求めて、それから他の種目のｔｉｍｅを知ることもできる。例えば、私の４００ｍのｔｉｍｅ、５５．８（電気　５６．０４）を式に代入して、 56.04 = 44.04 + 4.874*s + 0.2084*s^2　より 0.2084*s^2 + 4.874*s - 12.00 = 0 という２次方程式になり、これを解いてｓ＝２．２４６が得られた。これから例えばこれに相当する８００ｍのｔｉｍｅを知るために８００ｍの式に代入して、 T = 102.85 + 10.82*2.246 + 0.6936*2.246^2 = 130.65 で２分１０秒６５（手動　２分１０秒４）であることが分かる。 また、s=0のときのTをT0'とすると、s' = s -s0 とおいたとき T = T0 + a*s + (a*b/2)*s^2 = T0 + a*(s'+s0) + (a*b/2)*(s'+s0)^2 　=(T0 + a*s0 + (a*b/2)*s0^2) + a*(1+b*s0)*s' + (a*b/2)*s'^2 　=T0' + α(s0)*s' + (a*b/2)*s'^2 となる。このとき | s' | が小さいときは２次の項が無視でき、T = T0 + α(s0)*s' となり、初めに考えた T = T0 + α*s の考えを狭い範囲では適用できることになる。例として、下に s0 = 1.80、s' = ±0.2内での表を示しておく。

	100m	200m	400m	800m	1500m	5000m	10000m	マラソン
T0'	11.76	24.97	53.49	2:04.57	4:16.40	16:10.00	34:10.00	2:42:19
α(s0)	1.00	2.38	5.62	13.31	28.6	121.1	275	1445

s'	100m	200m	400m	800m	1500m	5000m	10000m	マラソン
-0.2	11.3	23.3	52.1	2:01.7	4:10.4	15:46	33:15	2:37:30
0.1	11.4	23.5	52.7	2:03.0	4:13.2	15:58	33:42	2:40:00
0.0	11.5	23.7	53.3	2:04.3	4:16.2	16:10	34:10	2:42:20
0.1	11.6	24.0	53.8	2:05.7	4:19.0	16:22	34:37	2:44:40
0.2	11.7	24.2	54.4	2:07.0	4:21.9	16:34	35:05	2:47:10

あとがき 　 　私は今まで述べてきたことで、ランニングの種目間のｔｉｍｅの関係を数式化することを試みてきた。この中には少々強引な所があっただろうし、事実と食い違うところもあっただろうが、自分としては満足いくものができたと思っている。 　この式を作るにあたって苦労したのは、１００ｍ〜８００ｍぐらいまでは、世界、日本、高校、（早大）陸同と男女を問わず大体似た様な傾向(注)を示すが、長距離においては、それぞれの層においてレベルの違いが見られたことである。しかし、自分なりに妥当だと思った基準をとったつもりである。 　それから§５を見て気が付いて欲しいのであるが、| s-s0 | が小さいときは１次式に近似できるということは、逆に３次式、４次式、・・・・　なら | s-s0 | が大きくてもよいということである。これはテーラー展開に他ならないのではないか。すなわち α(s) = α(s0) + α'(s0)/1!*(s-s0) + α''(s)/2!*(s-s0)^2 +　　･･････ 　　　=+ α(n)(s)/n!*(s-s0)^n +　　･･････ のうちの１次までの項が本題で議論したα(s)ということである。残念ながらここまで立ち入ることはできなかったが、自分でもｓが大きくなればなるほど誤差が大きくなっている気がしているので、興味のある方はぜひこの考えを発展させて、より正確な式を作っていただけたらと思う。 　 １９９０年１１月　　　　著者しるす　　 　 (注)早大陸同の男子８００ｍは陸同内の他の種目よりかなりレベルが高く、同好会記録が唯一女子の世界記録を越えているばかりでなく、今まで日本１００傑に入った種目の半分以上が男子８００ｍである。

　

参考文献 １９８８年記録集計号（陸上競技マガジン） １９８９年　　　〃　　　（　　　　〃　　　　　） １９８８年度版早稲田大学陸上競技同好会競技成績 １９８８年度　　　　　　　　　　　〃 １９８８年度版早稲田大学陸上競技同好会歴代ランキング表

著者略歴 横内　裕（よこうち　ひろし）
１９８６年　　　　 　　　　１９８７年　　　　 　　　　１９８８年４月	神奈川県立生田高等学校卒業 早稲田大学理工学部応用物理学科入学 早稲田大学
現在同大学４年に在籍。所属は中長ブロックなのになぜか専門種目は４００ｍ、８００ｍである。

　

計算式によるランニングのレベル求め 　 １９９０年１１月２６日　　　　　　初版発行 　 著者　　　　横内　裕 発行者　　　横内　裕 定価　希望価格　１５０円（本体１４６円）

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